Bất đẳng thức và cực trị đại số trong đề thi HSG toán 9 Lâm Đồng

Bất đẳng thức và cực trị đại số trong đề thi HSG toán 9 Lâm Đồng

Trong bài viết này mình sẽ tổng hợp các bài về bất đẳng thức và cực trị đại số trong đề thi HSG toán 9 Lâm Đồng và phân tích một số phương pháp giải.

Cực trị trong đề thi HSG Lâm Đồng 1920

 

Hướng dẫn:

Ta nhận thấy rằng chiều của bất đẳng thức cần chứng minh cùng chiều với dạng bất đẳng thức co-si với a, b dương như sau:

\sqrt {a + b} \le \frac{{a + b}}{2}

mà đầu bài lại cho a + b + c = 1 nữa như vậy chắc chắn là áp dụng được cô-si rồi. Tuy nhiên bây giờ ta cần chọn điểm rơi cho phù hợp nữa là OK.

Ta thấy vai trò của a, b, c trong bài toán là như nhau mà a + b + c = 1 nên đoán GTLN xảy ra khi a = b= c = 1/3. Khi đó a + b = 2/3, như vậy ta sẽ áp dụng cô-si cho hai số dương là a + b và 2/3.

\sqrt {\left( {a + b} \right).\frac{2}{3}} \le \frac{{a + b + \frac{2}{3}}}{3}

bạn làm tương tự với b + c và 2/3; a + c và 2/3 rồi cộng vế với vế là ra.

Max, min trong đề thi HSG Lâm Đồng 1819

 

Hướng dẫn:

Đây là một bài yêu cầu tìm cả GTLN và GTNN, có nhiều cách để giải quyết bài toán này nhưng có một cách rất hay đó là dùng phương pháp giải phương trình bậc hai như sau:

Đây là một kĩ thuật rất đáng để các bạn ghi nhớ.

Hướng dẫn:

Với câu này thì cách giải quyết ta nghĩ ngay tới là biến đổi tương đương bằng cách quy đồng như sau:

Thêm một lần nữa lại sử dụng cô-si. Qua ví dụ này ta hãy nhớ khi thấy xuất hiện hai số dương nghịch đảo thì hãy nhớ tới bất đẳng thức:

a + \frac{1}{a} \ge 2

BĐT trong đề thi HSG Lâm Đồng 1718

 

Một câu tương đối nhẹ nhàng, ta có thể dễ dàng chứng minh BĐT này bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Hướng dẫn:

Quan sát ta thấy xuất hiện tích ab, mà bài toán lại cho mối liên hệ của a2 và b2 hơn nữa chiều bất đẳng thức là <=, như vậy rõ ràng là thiên thời địa lợi nhân hòa để có thể sử dụng một dạng của Cô-si như sau:

a.b \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}

Lưu ý là bất đẳng thức này đúng với mọi a, b.

Áp dụng BĐT trên cho hai số a và b\sqrt 3 ta có:

ab\sqrt 3 \le \frac{{{a^2} + 3{b^2}}}{2}

Đến đây coi như bài toán đã được giải quyết.

BĐT trong đề thi HSG Lâm Đồng 1617

Câu  5: (1,5 điểm)  Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện  a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3 \cdot

Hướng dẫn:

Giả thiết không có phân số nhưng  cần chứng minh lại xuất hiện vì vậy ta nghĩ đến việc chia 2 vế biểu thức a + b + c + ab + bc + ca = 6abc với abc.

Quan sát kĩ các bạn sẽ thấy

nếu dùng cô-si với các số dương 1/a, 1/b ta sẽ làm xuất hiện 1/ab,

dùng cô-si với các số dương 1/a và 1 sẽ làm xuất hiện 1/a

dùng cô-si với các số dương 1/b và 1 sẽ làm xuất hiện 1/b

Đầu bài lại có mối quan hệ của a,b,c ab, bc, ac nên giải pháp trên hoàn toàn hợp lí. ta thực hiện như sau:

Đến đây các bạn tự giải tiếp.

Kết luận: Như vậy các bạn thấy rằng trong đề thi HSG Lâm Đồng thường ra dạng bất đẳng thức hay cực trị dùng cô-si, chúc các bạn đang luyện thi HSG tỉnh ôn chuẩn.

Related Post

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *