Đề thi HSG toán 9 huyện Phú Hòa – Năm học 2021

Câu 1:

Chứng minh A = \frac{1}{{2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + ............. + \frac{1}{{2021\sqrt {2020} }} < 2

a) Cho A = \frac{1}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} }} và B = \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho C = \frac{{2A + B}}{3} là một số nguyên.

Câu 2:

a) Giải phương trình: \left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)\left( {2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 8

b) Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x2 là hai giá trị của đại lượng x  và y1, y2 là hai giá trị của đại lượng y. Biết 5{x_1} + {x_2} = 2;{y_1} = - 3;{y_2} = 18;\left| {x - 3} \right| = {x_1} + {x_2}. Hãy tính x.

c) Cho x, y, z là các số hữu tỉ, thỏa mãn: \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}. Chứng minh: \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} là số hữu tỉ.

Câu 3:

a) Cho các số thực x, y thoả mãn x + y + 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 10xy

b) Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng

S = \frac{{4{a^2}}}{{a - 1}} + \frac{{5{b^2}}}{{b - 1}} + \frac{{3{c^2}}}{{c - 1}} \ge 48.

Câu 4:

Cho  tam giác ABC có đường phân giác AD. Qua  D kẻ đường thẳng song song với  AB cắt  AC ở  E. Biết AC = b, AB = c.

a) Tính AE theo b và c, từ đó suy ra: AD\,\, < \,\,\frac{{2bc}}{{b + c}}.

b) Chứng minh rằng góc BAC bằng 120⁰ khi và chỉ khi \frac{1}{{AD}}\,\, = \,\,\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}}

Câu 5:

Cho  tam giác ABC, trên cạnh  BC lấy điểm P sao cho  PC = 2PB. Tính số đo góc ACB biết