Đề thi HSG toán 9 huyện Thọ Xuân – Năm học 2021
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
A = \left( {1 - \frac{{x - \sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)Với \left( {x \ge 0;x \ne 1;x \ne 4;x \ne 9} \right)
2) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: \sqrt {{x^4} + 2{x^2} + 9} = 2{x^2} + x - 6
2) Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}{y^3} - \left( {1 + 3x} \right){y^2} + 3xy - 3x + y = 0\\{x^2} + 9x + 20 = 2\sqrt {y + 10} \end{array} \right.
Câu 3 (4,0 điểm).
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 3\left( {x - 2y + 1} \right)\left( {6x - y + 2} \right) + 11y = 8
2) Chứng minh rằng nếu \overline {abc} là số nguyên tố thì b2 – 4ac không phải là số chính phương.
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD đến đường tròn (O, R) với A, B là các tiếp điểm. C, D thuộc đường tròn (O) cho MC < MD, CD <2R . Gọi E là trung điểm của CD.
1) Chứng minh bốn điểm A, E, O, B cùng nằm trên một đường tròn,
2) Gọi F là giao điểm của AB và OE. Chứng minh FC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R).
3) Gọi T là điểm thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Tiếp tuyến qua T của đường tròn (O) lần lượt cắt MA, MB tại các điển I, K . Chứng minh chu vi tam giác MIK không đổi. Xác định vị trí của điểm T trên cung nhỏ AB sao cho tam giác MIK có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 4
Chứng minh rằng:
\sqrt {{a^2} + 8} + \sqrt {{b^2} + 8} + \sqrt {{c^2} + 8} \le a + b + c + 6
