Đề thi HSG toán 9 Quận Nam Từ Liêm – Năm học 2020 – 2021

Đề thi HSG toán 9 Quận Nam Từ Liêm – Năm học 2020 – 2021

Câu 1 (4,0 điểm)
1. Cho biểu thúc

A=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]: \frac{\sqrt{x^{3}}+y \sqrt{x}+x \sqrt{y}+\sqrt{y^{3}}}{\sqrt{x y^{3}}+\sqrt{x^{3} y}}

với x>0, y>0
a) Rút gọn biều thức A
b) Cho x+y=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức A.

2. Cho biểu thức

B=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}.

Chứng minh rằng B là một số nguyên.

Câu 2 (4,0 điểm )

1. Cho m+5 ; n-2 ; p+2020 là các số nguyên cùng chia hết cho 6 . Chứng minh rằng:
m+n+p+4^{q}+3 cũng chia hết cho 6 (q là số tự nhiên).

2. Cho a, b, c, d là các số nguyên tố thỏa mãn a^{2}=b^{2}+c^{2}+d^{2}
Chứng minh rằng: a b c d+2021 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x^{2}+y^{2}+5 x^{2} y^{2}+60=37 x y

2. Giải phương trình : \sqrt{5 x-1}-\sqrt{x+2}=\frac{4 x-3}{5}

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông A B C D độ dài cạnh bằng a và có tâm là O. Điểm M là một điềm di chuyển trên BC ( M khác B và C ). Goi N là giao điểm cua tia AM và đường thẳng CD . G là giao điểm cua DM và BN
1) Chứng minh rằng: \frac{1}{A M^{2}}+\frac{1}{A N^{2}} không đổi.
2) Chứng minh: CG \perp A N.
3) Goi H là giao điểm của OM và BN. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1, 0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu.

Hướng dẫn giải đề thi HSG toán 9 Quận Nam Từ Liêm 2021

Câu 5: Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân.

Do đó khi tô 5 đỉnh bởi đủ 3 loại màu đã cho thì tồn tại 2 khả năng:

– Nếu tô 5 đỉnh bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân.

– Nếu tô 5 đỉnh bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân.

Vậy, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác nhau.

Related Post

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *