Tuyển chọn các bài toán sử dụng nguyên tắc Diriclet ôn thi HS toán 9

Tuyển chọn các bài toán sử dụng nguyên tắc Diriclet ôn thi HS toán 9

Bài 1: Cho 100 số tự nhiên tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại 10 số sao cho hiệu hai số bất kì đều chia hết cho 11.

Bài 2: Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ít nhất một chiếc kẹo. Để hạn chế, mỗi tuần bà cho con không quá 12 chiếc kẹo. Chứng minh rằng trong một số ngày liên tiếp nào đó bà mẹ đã cho con tổng số 20 chiếc kẹo.

Bài 3: Trong một tam giác đều cạnh 1, ta đặt 17 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1/4.

Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 6 và chia hết cho 2003.

Bài 5. Có tồn tại hay không một số tự nhiên tận cùng là 2002 và chia hết cho 2003.

Bài 6. Chứng minh rằng có hai luỹ thừa của 2001 có 4 chữ số tận cùng giống nhau.

Bài 7. Chứng minh rằng tồn tại một luỹ thừa của 3 mà 4 chữ số tận cùng của nó là 0001.

Bài 8. Chứng minh: tồn tại số tự nhiên k sao cho: 2002k – 1 chia hết cho  200310

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên đương n luôn tồn tại số nguyên dương N sao cho trong hệ thập phân, N chỉ được viết bởi các chữ số 0 hoặc 1 và N chia hết cho n.

Bài 10. Cho 2001 số tuỳ ý, Chứng minh rằng có thể chọn được một hoặc một số số nào đó mà tổng của chúng chia hết cho 2001.

Bài 11. Chứng mình rằng trong 52 số nguyên dương bất kì ta luôn tìm được 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của hai số đó chia hết cho 100.

Bài 12. Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên, mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng có thể chọn được hai số mà khi viết liềnnhau ta thu được một số có 6 chữ số chia hết cho 7.

Bài 13. Chứng mình rằng trong 27 số nguyên khác nhau tuỳ ý nhỏ hơn 100 có thể chọn được hai số có ước số chung khác 1.

Bài 14. Cho n + 1 số tự nhiên khác nhau và đều nhỏ hơn 2n. Chứng minh rằng có thể chọn ra được 3 số sao cho có một số bằng tổng của hai số kia hoặc chọn được hai số mà số này gấp đôi số kia.

Bài 15. Cho 2000 số tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng ta có thể chọn được một số số nào đó mà tổng của chúng chia hết cho 2000.

Bài 16. Chứng mình rằng trong 2n+1 – 1 số nguyên bất Kì luôn tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn.

Bài 17. Cho hai tập hợp A, B thoả mãn các điều kiện:

a) Mỗi tập gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 2002.
b) Tổng số phần tử của hai tập hợp lớn hơn 2002.

Chứng minh rằng có một phần từ của A và một phần tử của B có tổng bằng 2002.

Bài 18. Ðể chuẩn bị cho giải bóng đã của trường, đội bóng của lớp 10A đã tập luyện trong vòng một tháng (30 ngày), ngày nào Cũng tập, trừ hai ngày cuối tuần nghỉ lấy sức. Để đảm bảo sức khoẻ, mỗi tuần đội bóng chỉ tập không quá 10 lần. Chứng minh rằng có một số ngày liên tiếp, đội bóng đã ra sân tập tổng cộng đúng 20 lần.

Bài 19. Ở vòng chung kết cờ vua có 8 bạn tham gia. Hai bạn bất kì đều phải đấu với nhau một trận và người nào cũng phải gặp đủ 7 đấu thủ của mình. Chứng minh rằng trong mọi thời điểm của cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau.

Bài 20. Chứng minh rằng trong 2001 người bất kì, luôn có ít nhất hai người có số người quen bằng nhau (số người quen chỉ tính trong nhóm).

Bài 21. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1 (đơn vị dài).

Bài 22. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong 3 màu: xanh, đỏ hoặc vàng. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1 (đơn vị dài).

Bài 23. Trong một hình vuông cạnh 1 (đơn vị dài) có 100 điểm phân bố tuỳ ý. Chứng minh rảng, có ít nhất 5 điểm nằm trong hình tròn bán kính 1/7.

Bài 24. Trong một hình tròn tâm O bán kính R = 1 (đơn vị dài), cho 7 điểm phân biệt. Biết rằng, khoảng cách giữa hai điểm bạt kì trong chúng đều không nhỏ hơn l. Chứng minh rằng, một trong 7 điểm đó phải trùng với tâm O.

Bài 25. Trong hình vuông cạnh 4 (đơn vị dài) cho trước 33 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính bằng căn 2 có tâm tại các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm đó? (đề thi học sinh giỏi toàn quốc 1995).

Bài 26. Mỗi điểm trên đường tròn được tô bằng một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân nội tiếp đường tròn đó và có ba đỉnh cùng màu.

Bài 27. Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì trong chúng tạo nên một tam giác có độ dài các cạnh khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của một tam giác vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.

Bài 28. Trên mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Chứng minh có ít nhất hai tam giác có cạnh cùng màu.

Bài 29. Trong mặt phẳng cho 17 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm này lại bằng các đoạn thẳng và tô màu xanh, đỏ hoặc vàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.

Bài 30. Trong một cuộc họp có 6 người. Người ta nhận thấy cứ ba người bất kì thì có hai người quen nhau. Chứng minh rằng thế nào cũng có ba người đôi một quen nhau.

Bài 31: Cho 2001 điểm trên mặt phẳng. Biết rằng cứ 3 điểm bất kì trong số 2001 điểm nói trên bao giờ cũng có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 (đơn vị dài). Chứng minh rằng có ít nhất 1001 điểm trong số 2001 điểm nói trên nằm trong một đường tròn bán kính 1 (đơn vị dài).

Related Post

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *